ریاضیدانان یک سوء ظن دیرینه در مورد مقادیر ویژه یک دیسک را تایید کرده اند. این به چه معناست و به هر حال مقادیر ویژه چیست؟
آیا تا به حال در کودکی طناب می پریدی یا اگر مثل من پسر کوچکی بودی، حداقل طناب زدن دختر بچه ها را تماشا می کردی؟ اگر چنین است، پس شما می دانید که طناب هنگام چرخیدن به اطراف چه شکلی می گیرد. یادتان هست وقتی طناب روی سر پرنده است یک نوع تپه دارد و وقتی پایین می آید و باید از روی آن بپرد دقیقاً شکل دره ای مخالف دارد.
بعداً در دبیرستان، ممکن است در کلاس ریاضی یاد گرفته باشید که شکل طناب مطابق با تابع مثلثاتی سینوس یک زاویه، sin (θ) است. یا به عبارت دقیق تر، طناب پرش نیمی از موج سینوسی است، نیمه مثبت در نوسان به سمت بالا و نیمه منفی در نوسان رو به پایین.
پدیده نیمه موج نکته مهمی است زیرا اگر یک طناب پرش را بردارید و خیلی سریع آن را بچرخانید، در واقع می توانید شکلی از دو نیم موج، یکی بالا و دیگری پایین، به دست آورید که البته یک موج سینوسی کامل ایجاد می کند. حتی سریع تر و سه نیمه یا 1½ موج و غیره دریافت می کنید. وقتی فیزیک سال اول تدریس می کردم، وقتی شروع به مطالعه امواج می کردیم، همیشه یک طناب به کلاس می آوردم و با بستن یک سر به دستگیره در و چرخاندن سر دیگر با حداکثر سرعت ممکن، معمولاً این کار را انجام می دادم. شش نیم یا سه موج کامل.
مهم نیست چقدر تلاش می کنید، هرگز به 2/3 موج یا 1/4 موج یا چیزی شبیه به امواج π نخواهید رسید. فقط مضرب های صحیح ½ موج مجاز هستند، ½، 1، 1½، 2، 2½، 3 و غیره. در فیزیک، به این مقادیر ویژه، مقادیر ویژه می گویند که برای مقادیر مشخصه آلمانی است.
ارزش های ذاتی یک ویژگی اساسی هر ساز موسیقی است. به عنوان مثال، کندن سیم گیتار شکلی بسیار شبیه به طناب پرش ایجاد می کند: یک نیمه موج که بالا و پایین نوسان می کند، و سرعت آن نوسان فرکانس صدایی است که می شنوید. به طور مشابه، ارزش ذاتی یک لوله اندام منفرد را می توان به گونه ای محاسبه کرد که صدای صحیحی را به صدا در آورد.
اگر می خواهید یک آزمایش ساده انجام دهید، یک بطری 16 اونس نوشابه بردارید و حدود نیمی از آن را بنوشید. سپس، بطری را به صورت عمودی نگه دارید تا از ریختن نوشابه به بیرون جلوگیری کنید، روی دهانه بالا باد کنید. صدای نسبتاً بلندی خواهید شنید. حالا حدود یک چهارم دیگر از لیموناد را بنوشید تا حدود یک ربع باقی بماند و دوباره روی دهانه آن باد بزنید. توجه داشته باشید که لحن متفاوت است. این یک لحن عمیق تر است. در نهایت، نوشیدنی خود را تمام کنید و دوباره روی دهانه آن باد بزنید. لحن حتی عمیق تر و عمیق تر به نظر می رسد.
اندازه محفظه هوا در بطری به همراه شکل آن فرکانس یا صدایی که می شنوید را تعیین می کند. هرچه محفظه بزرگتر باشد، لحن اساسی بزرگتر و در نتیجه لحن عمیق تر است.
همه آلات موسیقی از این پدیده ارزش ویژه استفاده می کنند و توانایی محاسبه مقادیر ویژه یک ساز برای طراحی چنین ساز مهم است. نمونه هایی که تا به حال بحث کردم، طناب پرش، سیم گیتار، لوله ارگ و حتی بطری نوشابه، همه اساساً سیستم های یک بعدی هستند. حتی در بطری نوشابه، این طولانی ترین بعد است که در درجه اول فرکانس اساسی را تعیین می کند.
سازهای دو بعدی نیز وجود دارد که معروف ترین آنها طبل است. ورقه مسطح پوست حیوانات که در سراسر سطح گرد درام کشیده شده است می لرزد و صدا تولید می کند. اکنون محاسبه یک مسئله دو بعدی مانند دیسک درام بسیار دشوارتر از یک بعدی است، مرتبه های بزرگی دشوارتر است. در واقع می توانید با ضربه زدن به یک دیسک دو بعدی در مکان های مختلف، به ارتعاش در یک دیسک دو بعدی به روش های مختلف بپردازید. اگر به پرده گوش در وسط ضربه بزنید، حداقل زمانی که به یک مقطع نگاه می کنید، مانند طناب پرش می لرزد. با این حال، ضربه به پرده گوش خارج از مرکز می تواند باعث شود که یک طرف به سمت پایین و طرف دیگر بالا برود، به گونه ای که یک موج یک بعدی نباشد.
در سال 1954، ریاضیدانی به نام جورج پولیا این فرضیه را مطرح کرد که شکل یک سطح دو بعدی را می توان از روی فرکانس صداهایی که منتشر می کند محاسبه کرد. Pólya موفق شد حدس خود را برای یک سطح دو بعدی متشکل از اشکالی که می توانند به یکدیگر متصل شوند، اثبات کند. برای اطلاعات بیشتر در مورد هندسه‌هایی که می‌توانند به یکدیگر متصل شوند، به پست من در 22 آوریل 2023 مراجعه کنید. با این حال، دیسک‌های گرد مانند پرده گوش را نمی‌توان به هم وصل کرد و پولیا هرگز نتوانست ایده‌اش را برای دیسک‌ها ثابت کند.
اکنون یک تیم بین المللی از ریاضیدانان متشکل از نیکولای فیلونوف از موسسه ریاضیات استکلوف در سنت پترزبورگ (روسیه)، مایکل لویتین از دانشگاه ریدینگ (بریتانیا)، لوسیف پولترویچ از دانشگاه مونترال (کانادا) و دیوید شر است. از دانشگاه دوپاول (ایالات متحده آمریکا)، توانست حدس پولیا را برای دیسک ها اثبات کند. اثبات آنها در مجله Inventiones Mathematicae منتشر شد و در حالی که این اثبات ممکن است یک قطعه انتزاعی از تجزیه و تحلیل ریاضی باشد، می تواند به کاربردهای عملی در بسیاری از زمینه ها، نه فقط موسیقی، منجر شود.
مقادیر ویژه هر جا که امواج اتفاق بیفتند نقش دارند: در آکوستیک، هیدرودینامیک، الکترونیک و شاید مشهورترین آنها در مکانیک کوانتومی. بنابراین هرگونه پیشرفت در درک ما از ارزش های ذاتی، پیشرفت در درک ما از دنیای اطرافمان است.
